일단은, @hackya 님 의견대로 OAuth를 기반으로 한 SSO를 구축하시는것을 고려해 보시는게 좋을 것 같네요.
음… 이전질문과 이 내용을 함께 보아야 문제를 어느정도 이해할 수 있을것 같네요.
쿠키를 받아서 타 사이트와 통신하여 로그인상태를 체크하는 것 까지는 성공하셨지만, 모달팝업을 통한 로그인이 진행되지 않는다는 얘기이시죠?
스샷을 통해 예상해 보건데 모달 팝업 후 AJAX 통신을 통해 로그인 과정을 처리하는 것으로 보이는데요, 우선은 브라우저의 콘솔(F12)을 이용하여 통신과정에서 오류는 없는지, 응답(response) 내용에 필요한 정보 이외에 다른 오류 텍스트 등이 포함되어 있지는 않는지 확인해 보시기 바랍니다. 응답을 JSON으로 받는데 내용에 PHP 오류/경고 등이 포함되면 이를 처리하지 못할 수 있습니다.
우선적으로 wp-config.php 에서 WP_DEBUG 가 true 로 되어있다면 false 로 바꿔 보시구요.
이 외에는 문제가 있는 URL을 알아야 확인이 가능할 것 같네요.
